Provisionnement – étude d’un cas pratique

Master 1 ActuariatBases de l’assurance

On se propose au travers de cet article de réaliser une étude d’un cas pratique de provisionnement à partir de différents triangles de liquidation. Il s’agit d’une approche de base, avec analyse des triangles et application d’une méthode Chain Ladder/London Chain pour les projections à l’ultime.

Pour les étudiants du M1 Actuariat de l’Université Gustave Eiffel, il s’agit de « l’exercice 2 de provisionnement non-vie (full) ». À noter que l’intérêt de cette correction ne réside pas pour vous à retrouver exactement les mêmes chiffres mais à comprendre les différentes étapes et choix réalisés. Il est tout à fait possible d’emprunter un autre chemin pour atteindre l’objectif.

Tous les modèles sont faux, l’objectif est d’en avoir un compréhensible qui ne le soit pas trop.

Note : cet exercice est corrigé sous Excel et non sous R pour être en ligne avec ce qui était attendu par les étudiants d’une part et éviter d’introduire un nouveau concept (la gestion du provisionnement sous R notamment via le package chainladder) d’autre part.

Sommaire


  1. Les données

Les données sont disponibles ici

Nous disposons de plusieurs triangles :

  • La charge de sinistralité cumulée,
  • Les paiements cumulés,
  • Le nombre cumulé de sinistres,
  • La charge et le nombre de sinistre extrêmes,
  • Les paiements attritionnels.

On apparaît donc être dans un cadre pratique relativement confortable dans la mesure où la granularité de l’information est relativement fine. À cela s’ajoute un indice d’exposition du portefeuille sous-jacent en base 100.

On notera cependant que la branche (line of business) n’est pas précisée, ce qui ne nous invite pas à nous questionner par rapport à l’inflation qui sera donc une variable implicitement comptabilisée dans l’étude.

  1. La branche

Bien que cette dernière ne soit pas précisée, on peut remarquer que :

  • Les charges apparaissent relativement petites (moyenne de 3,2k), on peut donc supposer qu’elles sont en k€.
  • Il y a occasionnellement des sinistres extrêmes dont la charge relative atteint 20%.
  • Les charges semblent se stabiliser relativement vite, en 6-7 ans (D.Y. 5&6),
  • Tout comme les charges, les paiements semblent se stabiliser en bout du triangle et les taux de paiements empiriques avoisinent les 90% en année de développement 4.

L’assurance automobile a des sinistres extrêmes pouvant représenter une telle masse (tout dépend du seuil retenu pour qualifier un sinistre d’extrême) via les sinistres corporels graves, cependant le cadencement de paiement de ces sinistres extrêmes apparaît trop rapide (il faut en moyenne 9 ans pour liquider un sinistre corporel grave en rente ou en capital en France). Cela se voit par différence entre le triangle des paiements et le triangle des paiements attritionnels. Il serait plus sage de supposer une branche n’incluant pas de composante R.C., comme une branche incendie.

Cette partie n’était pas attendue mais une réflexion de la part de l’étudiant vis-à-vis des objets qu’il manipule est naturellement appréciée. Trop souvent l’on voit en entreprise des techniciens foncer tête baissée dans l’application d’une méthode dès que le problème semble s’y prêter.

“If your only tool is a hammer, then every problem looks like a nail.” – Unknown.

  1. La situation

Avant de se lancer dans des applications de méthodes de provisionnement, il est nécessaire de réfléchir à la façon dont on va aborder le problème.

Pour cela, il est important d’augmenter son niveau d’information, par exemple en s’intéressant de plus près à ses données.

Nous allons nous intéresser à la masse des sinistres, c’est-à-dire sans la partie des « sinistres extrêmes ».

Un graphique d’ensemble de la charge de la première année de développement montre une nette évolution de celle-ci mais conforte sur le fait qu’elle semble fortement corrélée à l’indice d’exposition, ce qui est plutôt rassurant. Mais est-ce vraiment le cas ?

Il est toujours intéressant (même nécessaire) de descendre en granularité lorsque possible voir ce qu’il se passe.

  • Sévérité

En calculant le triangle des charges moyennes (en retirant les charges & nombres des sinistres extrêmes) on peut obtenir ce graphique :

On retiendra que la charge moyenne 2019 a significativement augmentée (de +36% par rapport à la moyenne). Avant cela, la charge moyenne d’ouverture avait eu tendance à légèrement décroître.

  • Fréquence

On peut réaliser un calcul similaire concernant le nombre de sinistres afin de voir s’il y a une tendance particulière : on se propose de rapporter le triangle du nombre de sinistre attritionnel par l’indice d’exposition correspondant (à l’année d’attachement).

L’indice étant en base 100, nous ne pouvons pas interpréter d’une façon absolue les fréquences ainsi obtenues. Cependant, les variations relatives sont intéressantes. On remarque via le graphique ci-dessus une certaine complémentarité entre le coût moyen et la fréquence et cela est bien illustré par l’année 2019. À ce stade il est très important de connaitre la date d’extraction de ces données : est-ce du 31/12/2019 ? Ou manque-t-il de l’information sur la dernière diagonale ?

N’ayant pas cette information à ce stade, il conviendra d’envisager les deux.

En résumé de cette analyse descriptive, il apparaît que la charge attritionnelle est équilibrée par rapport à l’indice d’exposition. Cependant, un changement de comportement s’observe dans les données (baisse du coût moyen compensé par une hausse de la fréquence) et l’année 2019 pourrait s’avérer très préoccupant si les données n’étaient pas arrêtées au 31/12/2019.

  1. Projection

La charge moyenne étant relativement stable, pour avoir un premier aperçu de la charge ultime, la méthode de Chain Ladder peut être envisagée. Pour rappel, les méthodes nécessitent des hypothèses qu’il convient en pratique de vérifier : plus les hypothèses seront (jugées) satisfaisantes plus grande sera la confiance dans les résultats.

Cependant, il pourrait être intéressant de projeter de façon séparée la fréquence et la sévérité avant de les agréger : c’est ce que l’on appelle une approche par « coût moyen ». La démarche étant cependant la même, ce travail est laissé au lecteur.

Les données retenues sont hors sinistres extrêmes car ces derniers, très volatiles, induisent du bruit dans la méthode. Or, les méthodes statistiques cherchent bien souvent à capter le « comportement moyen », c’est pourquoi il est parfois préférable de restreindre le périmètre sous-jacent. En pratique, nous disposerions de plus d’informations pour la gestion de ces sinistres extrêmes.

  • Hypothèses de Chain Ladder
    1. (H1) : Règle de proportionnalité des charges

Un rapide test graphique (via un nuage de point) permet de juger la qualité empirique de l’hypothèse de proportionnalité des charges (H1) :

Sur le graphique de gauche, représentant les charges (hors extrêmes) de la seconde année de développement par rapport à la première, on remarque que les points sont relativement bien alignés sur une droite (en trait plein rouge). Cependant, cette droite ne passe pas par l’origine du graphique – autrement dit, l’ordonnée à l’origine (intercept) n’est pas nulle – et de fait la relation est non linéaire mais affine. Pour prendre cela en compte, il convient de « corriger » la méthode Chain Ladder en ajoutant un second coefficient :

Il s’agit de la méthode « London Chain » qui sera pertinente à appliquer ici pour le premier coefficient de passage.

  1. (H2) : Indépendance des années calendaires

Concernant l’indépendance des années calendaires (H2), T. Mack [1997] propose une méthode dans son papier « Measuring the variability of Chain Ladder reserve estimates – Appendix H: Testing for Calendar Year Effects » basée sur un test statistique sur une classification des coefficients de passage individuel. A priori fastidieux à implémenter sous Excel, et comme le package R chainladder arbore la fonction cyEffTest permettant de tester cela, nous mettons ce point de côté et allons simplement nous intéresser à une représentation graphique.

En effet, si un effet calendaire notoire est contenu dans nos données, alors nos coefficients de passage individuel de ladite diagonale devraient être substantiellement différents du comportement attendu. Représentons alors simplement ces coefficients de passage individuel par rapport à leur moyenne et regardons si, pour une même année calendaire, plusieurs d’entre eux sortent du lot :

Aucune année calendaire (en abscisse ci-dessus) ne semble ressortir significativement. À vrai dire, il y a peu de variabilité des coefficients de passage individuel au-delà de la 1ière année de développement une fois les sinistres extrêmes retirés. Cela nous conforte dans l’idée qu’aucun effet calendaire substantiel soit implicitement inclus dans nos données.

Nous pouvons donc procéder à l’estimation des coefficients de passage par la méthode Chain Ladder (complétée par la méthode London Chain pour le premier).

  • Coefficients de passage

Les coefficients de passage (L.D.F. pour Loss Development Factor) s’obtiennent par simple application de la méthode. À ce niveau là l’actuaire doit cependant choisir la profondeur historique qu’il va retenir. En effet, ce n’est pas parce que dans notre exemple nous avons 8 années d’exercice qu’il faut nécessairement les retenir. Cependant, n’ayant pas d’information à ce sujet, nous décidons de retenir toute la profondeur à notre disposition.

L’estimation des paramètres peut alors se faire par la M.C.O. (méthode des moindres carrés ordinaires), mais nous utiliserons les fonctions natives d’Excel suivantes à cette fin :

  • slop() (pente() en français) pour estimer le coefficient directeur,
  • intercept() (ordonnee.origine() en français) pour l’ordonnée.

On peut résumer les estimations dans le tableau ci-dessous :

où C.L. et L.C. correspondent respectivement à Chain Ladder et London Chain.

On peut également s’amuser à comparer les deux méthodes (uniquement pour l’année d’accident 2019 donc) :

On voit que la différence d’estimation à l’ultime est de l’ordre de 19%. Naturellement, sur le plan statistique, nous préférerons retenir l’estimation du modèle London Chain pour la raison évoquée plus haut.

  • Tail Factor

Le tail factor n’est pas un paramètre anecdotique. Il convient systématiquement de se demander si son utilisation est appropriée.

Rappel : le facteur de queue de développement, en anglais tail factor, est un facteur virtuel ajouté en fin de série des LDFs. Il vise à quantifier un développement non visible dans les données car ces dernières sont incomplètes ou immatures. Bien que des méthodes permettent de l’estimer, c’est en pratique bien souvent l’expertise de l’actuaire qui prévaut.

Dans notre contexte, il apparaît que la charge se stabilise significativement en fin de course. Cependant, il pourrait être argumenté qu’en l’absence d’une année de développement supplémentaire pour attester cela d’avantage, un tail factor pourrait être retenu par prudence. En pratique, plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour appuyer son estimation comme une extrapolation des LDFs, la méthode de Bondy, …

Nous ne retenons pas de tail factor dans la suite de l’exercice, cependant il est justifiable d’en retenir un de l’ordre de 1% au vue des résultats d’une simple extrapolation (cela ne changera pas drastiquement les conclusions).

  1. Conclusion de l’étude

L’objectif de cette étude, pour rappel, est d’évaluer l’adéquation du provisionnement actuel de ce portefeuille. Autrement dit, il convient de répondre à la question suivante : les réserves actuelles vont-elles permettre de liquider les sinistres passés ?

Lorsque l’on dispose de triangles de charge dossier-dossier, la réponse est souvent non : il convient d’ajouter un matelas de sécurité, appelé « IBNR », visant à la fois à couvrir

  • les évolutions intrinsèques de la charge dossier-dossier au fil du temps : IBNER (Incurred But Not Enought Reported),
  • et les sinistres tardifs, c’est-à-dire survenus mais non déclarés : IBNYR (Incurred But Not Yet Reported).

Dans la mesure où nous avons ici peu d’information sur les graves et supposant que le provisionnement dossier-dossier est prudent, alors la meilleure estimation du sinistre est probablement l’actuelle. De fait, nous n’avons volontairement pas retraité ces sinistres extrêmes ici. Les méthodes actuarielles de gestion des sinistres extrêmes nécessitent quelques connaissances supplémentaires hors périmètre de cette étude.

Nous pouvons alors résumer dans le tableau ci-dessous les résultats :

Il apparait donc que le Risk Management devrait allouer un budget de 6 060k€ en plus des réserves D/D afin de pleinement couvrir les engagements de ce portefeuille. Et cela en supposant que les données soient arrêtées au 31/12/2019…

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